يعد حل المعادلات الأسية والمتباينات أحد المفاهيم والقوانين الأولى في علم الجبر الرياضي. وهي علاقات رياضية يتطلب حلها معرفة كاملة بقوانين الدالة الأسية، ويتم شرح كيفية حلها.
تعريف المعادلات والمتباينات
قبل أن نشرح كيفية حل المعادلات الأسية والمتباينات، نحتاج إلى تعريف فرق ومتباينة تسمى: x+5=9، وهي معادلة فيها واحد مجهول أما المتباينة فهي علاقة رياضية بين طرفين يحتويان على أحد الطرفين. الرموز التالية: (>، ≥، ≥، >)، وبالتالي تعبر عن الفرق بين قيمة عنصرين رياضيين، وبالتالي فإن المتراجحة تعبر عن مقارنة بين طرفين، أما المعادلة فهي مقارنة بين عنصرين المعادلة بين العنصر
حل المعادلات الأسية والمتباينات
يختلف حل المعادلات الأسية والمتباينات باختلاف العلاقة الرياضية بين الطرفين.
2x + 2 > 1/322x + 2 > 2 5x + 2 > 7x > 7
ومن المعادلات التي تحتوي على الدالة الأسية نذكر المثال التالي:
إذا كان x، ثم:
4 2 س 1 = 64، منها: 4 2 س 1 = 432 2 س 1 = 3، إذًا: 2 س = 4 س = 4 ÷ 2، إذن: س = 2
ونذكر أيضاً المثال الثاني التالي:
As = As، وهي معادلة تحل بالقانون التالي: عندما تكون الأساسات متساوية، تكون الأسس متساوية، إذن As = As، حيث: ) = 9
وتتكون من إعادة صياغة المعادلة بحيث تكون الأساسات متساوية، كما يلي:
3 (x+1) = 3² بما أن الأساسات متساوية، فإن الأسس متساوية وبالتالي: x+1 = 2، إذن: x = 1.
أنواع المعادلات والمتباينات
بعد تعريف وشرح كيفية حل المعادلات الأسية والمتباينات، لا بد من تعريف أنواع المعادلات الجبرية مقسمة حسب المكونات والعناصر إلى ما يلي:
- المعادلات البارامترية، وهي معادلة تساوي كثيرة حدود مع كثيرة حدود أخرى.
- المعادلات الجبرية هي علاقة مساواة بين عنصرين جبريين يحتوي أحدهما أو كليهما على متغير واحد على الأقل.
- المعادلات الخطية، وهي معادلة جبرية بسيطة تسمى معادلة الدرجة الأولى.
- المعادلات المتعالية هي معادلات تحتوي على دالة متعالية، أي دالة مثلثية أو أسية أو دالتها العكسية.
- المعادلات التفاضلية، وهي المعادلات التي تربط الدالة بمشتقاتها.
- معادلات ديوفانتاين، التي سميت على اسم العالم اليوناني ديوفانتوس، هي معادلة بارامترية تتكون من عدة متغيرات يتم حلها بواسطة أعداد صحيحة أو ثبت استحالة حلها.
- المعادلات الوظيفية، وهي معادلات تكون فيها المجهولات أو المجهولات دوالًا وليست مجرد متغيرات.
- المعادلات التكاملية، وهي معادلة تحتوي على دالة غير محددة بجوار علامة التكامل.
أما المتباينات فهي تنقسم إلى بسيطة ومعقدة، ومنها ما يسمى بالمتباينات الشهيرة في الرياضيات، ومنها ما يلي:
- متباينة مثلثية تنص على أن طول أي ضلع في المثلث يكون بالضرورة أقل من مجموع طولي الضلعين الآخرين، وبالضرورة أكبر من الفرق بينهما.
- ترتبط متباينة كوشيشفارتز، التي سميت على اسم العالم الفرنسي كوشي والعالم الروسي شوارز، بالقواعد والمثلثات الإقليدية.
- متباينة العالم الروسي أندريه ماركوف فيما يتعلق بالوظائف.
- متباينة برنولي السويسرية للدالة الأسية.
يتضمن حل المعادلات الأسية والمتباينات جزأين مختلفين، وهما حل المعادلات وحل المتباينات، لأن المعادلة تختلف عن المتباينة عادة في العلامات الرياضية التي تقسم طرفي النسبة. لذلك يجب أن نضع قوانينهم ومبادئهم الرياضية في الاعتبار، ولنركز على كل مكون من طرفي العلاقة.