بحث عن العلاقات بين الزوايا. دراسة الزوايا هي جزء من علم الهندسة المتفرع من الرياضيات. تكمن أهمية دراسة الهندسة في تنوع مجالاتها وتعددها. ولا يقتصر الأمر على الرياضيات والحسابات فقط، بل هو مطلوب في الأعمال الهندسية بكافة أشكالها، سواء كانت معمارية أو مدنية أو غير ذلك. وكما أن الهندسة تقوم على دراسة جميع الأشكال الهندسية التي تتكون من أضلاع، أي القطع المستقيمة، وإيجاد مساحاتها ومحيطاتها وأحجامها وما إلى ذلك، فإننا في هذا السياق نقدم لكم بحثاً عن العلاقات بين الزوايا.
ما هو تعريف الزوايا؟
الزوايا هي جمع كلمة زاوية، ويمكن تعريف الزاوية بأنها المسافة التي تنحصر عند التقاء خطين مستقيمين، بحيث يعتبر الخط أو الشعاع الذي يشكلها جانباً من جوانب الزاوية، وشكل الزاوية الخط ومقدار انحناءه على الخط الآخر له دور في اختلاف قياسات الزوايا. علاوة على ذلك، يمكن تعريف الزوايا بأنها الشكل الناتج عن تقاطع شعاعين عند نقطة البداية.
وحدة قياس الزوايا
يتم التعبير عن كل نوع من الزوايا باستخدام قيمة عددية، حيث تمثل هذه القيمة وصفًا لقياس الزاوية. لتحديد قياس الزاوية يتم رسمها في موضع قياسي على نظام الإحداثيات، بحيث يكون رأسها في منتصف النظام، ويكون الضلع الأول المعلوم محاذياً للمحور x، ويمثل قياس الزاوية بالزاوية بمقدار الدوران اللازم للانتقال من جانب إلى الجانب الآخر يسمى الجانب الانتهائي.
في معظم الحالات تكون وحدة قياس الزاوية هي الدرجة، إذ يعود لبابل استخدام الدرجة لأول مرة، ويعود ذلك إلى عصور ما قبل المسيحية، عندما قسم نظام الأرقام على أساس الرقم ستين، وهو يُنسب إلى اعتياد علماء الرياضيات على تقسيم زوايا المثلث متساوي الأضلاع. إلى ستين وحدة فردية في العصر الحديث، حيث أصبحت هذه الوحدات تعرف بالدرجات.
أنظر أيضا:
أنواع الزوايا وقياساتها
إن الطريقة التي تتشكل بها الزوايا تجعل من الممكن أن تكون لها أشكال ودرجات متعددة، حيث تختلف الزوايا عن بعضها البعض حسب نسبة قياسها ومدى انفصال الضلع الأول عن الضلع الثاني للزاوية، حيث أنواع الزوايا وقياساتها هي كما يلي:
- أولاً: الزوايا الحادة: هي الزوايا التي يقل قياس درجتها عن 90 درجة، بحيث يتراوح قياس الزاوية من 0 إلى 90 درجة.
- ثانياً: الزوايا القائمة: الزاوية التي قياسها 90 درجة بلا زيادة ولا نقصان.
- ثالثاً: الزوايا المنفرجة: هي الزوايا التي درجة قياسها أكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة، وتتراوح من 90 إلى 180 درجة.
- رابعاً: الزوايا المستقيمة: هي الزوايا التي تمثل خطاً مستقيماً وقياس درجتها 180 درجة.
- خامساً: الزوايا المنعكسة: هي الزوايا التي نسبة قياسها أكبر من 180 درجة وأقل من 360 درجة، بحيث تتراوح درجة الزاوية المنعكسة بين 180 و360 درجة.
- سادسا: الزوايا التامة: وهي زوايا قياسها 360 درجة، بحيث تبدأ هذه الزاوية من نقطة وتدور لتنتهي عند نفس النقطة التي بدأت منها.
اشرح العلاقات بين الزوايا
وقد تأتي الزاوية منفردة مستقلة، أو قد تكون جزءاً من أحد المضلعات والأشكال الهندسية ثنائية أو ثلاثية الأبعاد، بحيث تنشأ علاقات متنوعة بين الزوايا التي قد تكون متكاملة أو متكاملة أو متقابلة رأسياً. وفيما يلي نوضح العلاقات بين الزوايا:
أنظر أيضا:
زاويتان متكاملتان
تعتبر الزاويتان متكاملتين عندما يكون مجموع قياسات كل منهما 180 درجة. ومن أمثلة ذلك: عندما يكون قياس الزاوية 120 درجة، يكون قياس الزاوية المكملة لها 60 درجة. نقول إن الزاوية 40 مكملة بزاوية قياسها 140. وللتأكد من كون الزاويتين متكاملتين أم لا، يجب أن تجد مجموعهما 180 درجة، إذن الزاويتان متكاملتان.
الزوايا التكميلية
الزاويتان المتتامتان هما زاويتان مجموع قياسهما 90 درجة. على سبيل المثال، الزاوية 30 والزاوية 60 متكاملتان لأن مجموعهما يساوي 90. يمكننا القول إن الزاوية 75 هي مكملتها، وهي زاوية قياسها 15 درجة. لإيجاد تكملة إحدى الزوايا، نطرح قيمتها من 90.
زوايا متقابلة عموديا
الزوايا المتقابلة رأسياً متساوية في القياس، فعندما يتقاطع خطان مستقيمان يكون تقاطعهما أربع زوايا، كل زاوية منها متساوية في القياس. ولكن هناك شروط يجب توافرها في الزوايا المتقابلة بالرأس، وهي:
- عندما تشترك الزاويتان في نفس الرأس.
- إذا كان امتداد أحد الجانبين هو نفس امتداد الجانب الآخر.
أنظر أيضا:
زاويتان متجاورتان
الزاويتان المتجاورتان زاويتان متكاملتان في نفس الوقت، بحيث يساوي مجموعهما 180 درجة. ويجب أن تتوافر في الزوايا مجموعة من الشروط حتى تعتبر متجاورة. هذه الشروط هي:
- عندما تشترك زاويتان في نفس الرأس.
- إذا كان لديهم جانب مشترك.
- عندما تقع الزاويتان على جانبي الضلع المشترك.
الزاويتان المتحالفتان
عندما يتقاطع خط مستقيم ثالث مع خطين مستقيمين متوازيين فإن مجموع قياساتهما يساوي 180 درجة. الزاويتان المتحالفتان هما الزاويتان اللتان تقعان على نفس الجانب من التقاطع، وتمثلان حرف U. وقد أطلق عليهما هذا الاسم لأنهما يكملان بعضهما البعض، ومجموع قياسات الزوايا هو 180 درجة.
الزاويتان المتقابلتان
إذا كان خطان متوازيين وقطعهما قاطع، فإن كل زاويتين متناظرتين متساويتان في القياس، بحيث تكون الزاويتان المتناظرتان متساويتان في القياس، وتشكلان معًا حرف F. وهما أيضًا الزاويتان اللتان تقعان على إحداهما جانب القاطع ولكن أحدهما يقع داخل خطين والآخر خارجهما.
الزاويتان المتبادلتان
عندما يقطع قاطع خطين متوازيين فإن قياس كل من الزاويتين المتبادلتين متساوي. الزاويتان المتبادلتان هما زاويتان تشكلان معًا الحرف z. الزاويتان المتبادلتان متساويتان في القياس، وتقعان أيضًا بين الخطين، لكن في اتجاهين مختلفين.
الزوايا الخارجية للمثلث
يعتبر المثلث أحد الأشكال الهندسية التي تتكون من ثلاثة أضلاع بينها ثلاث زوايا. وتسمى هذه الزوايا الزوايا الداخلية للمثلث. الزوايا الخارجية للمثلث هي الزاوية التي ضلعها الأول أحد أضلاع المثلث، وضلعها الثاني امتداد لأحد أضلاع المثلث. ومن الجدير بالذكر أن الزاوية الخارجية للمثلث مكملة للزاوية المجاورة له داخل المثلث.
تصنيف العلاقات بين الزوايا
تنشأ العلاقات بين الزوايا في أشكال هندسية مختلفة، بحيث تكون بعض الزوايا متساوية في القياس وفق علاقة محددة. وقد يكون مجموع زاويتين مساوياً لزاوية مستقيمة، وربما عند جمع زاويتين يكون الناتج معادلاً لقياس زاوية قائمة. وفيما يلي نوضح لكم تصنيف العلاقات بين الزوايا:
- الزوايا المتتامة: هي الزوايا المتجاورة ومجموع قياساتها 90 درجة.
- الزوايا المتتامة: الزوايا المتتامة هي زوايا متجاورة ومجموع قياساتها 180 درجة.
- الزوايا المتجاورة: هي الزوايا التي تشترك في الرأس والضلع.
- الزوايا المتقابلة رأسياً: هي الزوايا التي تقع على امتداد واحد، وتنتج هذه الزوايا من تقاطع خطين في نقطة تسمى قمة الزوايا.
- الزوايا المتطابقة: هي الزوايا المتساوية في الدرجة.
خصائص الزوايا المتطابقة
الزوايا المتطابقة هي زوايا لها نفس القياس. على سبيل المثال، عندما تكون هناك زاويتان قياس كل منهما 62 درجة، فإنهما متطابقتان. كما أن للزوايا المتطابقة خصائص مختلفة تساعد في عمل البراهين وإثبات تطابق أو تشابه الأشكال الهندسية. ومن خصائص الزوايا التطابق:
- تنص الخاصية المتماثلة على أنه إذا كانت الزاوية A تساوي الزاوية B، فإن الزاوية B تساوي الزاوية A. وتسمى هذه الخاصية متماثلة، لأن الكميات على جانبي علامة التساوي متساوية، وبالتالي تكون المعادلة متناظرة.
- أما خاصية الانعكاس فتقول: “الزاوية مطابقة لذاتها، وهذا أمر محير إذا فكرت فيه، لكن ليس هناك معنى سري؛ “ولكن هناك في الواقع قاعدة في الهندسة تقول حرفيًا أن الشيء يساوي نفسه.”
- يمكنك قلب A وB من جانب إلى آخر، ولا يهم، وتنص الخاصية المتعدية على أنه إذا كانت الزاوية A تساوي الزاوية B، وإذا كانت الزاوية B تساوي الزاوية C، فإن الزاوية A تساوي زاوية ج.
بحث عن العلاقات بين الزوايا. تعتبر الزوايا أساسية في جميع الأشكال الهندسية، بغض النظر عما إذا كانت ثنائية الأبعاد، أي الأشكال المسطحة، أو ثلاثية الأبعاد، أي المواد الصلبة.